Tópic-chat de Ciencia

[Jaime]

Bueno, luego me explayo, pero me doy cuenta de que debería haber dicho "tiene clausura compacta" en lugar de "es compacto".

Enviado desde mi HTC U Ultra mediante Tapatalk

[Jaime]

A ver, voy a daros un poco la chapa con temas de topología euclídea y teoría de la medida. Lo que viene a continuación no pretende ser la verdad científica sobre la estructura del Universo ni sobre su finitud, temas sobre los que mi dominio se limita al nivel meramente heurístico. Además, la descripción que voy a hacer es una interpretación matemática, porque de matemáticas es de lo único que sé (y además no mucho), así que seguro que me estoy saltando alegremente conceptos de la física que ponen límites a mi argumento. Avisados quedáis.

Leyendo a Radagast, lo que veo es que, quizá, hay aquí una confusión entre el tamaño de un objeto (en este caso, el Universo), la estructura de los elementos que lo forman (sus puntos) y las propiedades de las funciones que relacionan dichos puntos (básicamente, caminos). Lo primero lo estudia la teoría de la medida, lo segundo lo estudia la continuidad y la compacidad y lo último es una cuestión de conexión y arc-conexión. Las tres cosas están, por supuesto, relacionadas y las propiedades que se verifican por cada una de ellas afectan a las propiedades que se puedan deducir de las otras.

Estos conceptos nos permiten distinguir objetos más allá de lo que sus medidas nos permite. Por ejemplo, tanto un círculo (relleno) de radio uno como todo el plano euclídeo en el que se encuentra albergan infinitos puntos en su interior. Sin embargo, la intuición dice que hay algo fundamentalmente distinto entre un círculo y el plano. Por otro lado, tanto un círculo como el plano, a pesar de albergar ambos a una infinidad de puntos, tienen la propiedad de que todo par de puntos están separados por una distancia finita. Y esto es importante, creo yo, para la cuestión de la infinitud del Universo.

Antes hablaba de que |R^n no es compacto. En lugar de pensar en |R^n vamos a hacerlo fácil y pensaremos en el espacio tridimensional (n=3). Decía que el espacio "no es compacto", lo cual es cierto, pero más tarde corregí a "no tiene clausura compacta". Probablemente, a los que hayáis hecho cursos de mates en ingenierías y similares os habrán descrito un conjunto compacto como aquel que es cerrado y acotado. Acotado significa que sus puntos no pueden alejarse unos de otros más de una cierta cantidad y cerrado es, para entendernos muy burdamente, que tiene borde. Un círculo de radio 1 relleno es, según esta noción, un compacto (sus puntos no se separan más de 2 unidades) y tiene además un borde, la circunferencia exterior. Si uno quita esta circunferencia, lo que le queda es un objeto que es acotado pero no tiene borde y, por tanto, no es compacto. El espacio 3D tampoco es compacto porque, ni tiene borde, ni existe una cantidad que limite la distancia entre dos puntos. Como el círculo sin borde y el espacio son ambos no compactos, necesito hablar de la clausura compacta para distinguirlos de manera eficaz.

Para explicar la clausura compacta, haremos uso de una definición distinta de conjunto compacto, que es más general y que se puede comprobar que equivale a ser cerrado y acotado en el caso euclídeo. Un conjunto es compacto si cualquier sucesión de puntos del propio conjunto se acerca a un punto del mismo conjunto. Esto ciertamente se cumple en el círculo relleno, pues todos sus puntos están, como mucho, a distancia 1 del centro; así que cualquier sucesión que tome tendrá asociada una sucesión de distancias que nunca son más de uno y que, por tanto, está acotada, luego su límite tendrá norma como mucho 1. Siendo así, el límite de la sucesión original ha de ser un punto del propio círculo. En el caso del círculo sin borde, puede ser que, aunque todos los puntos de una sucesión estén dentro de él (i.e. tengan norma menos que uno) el límite se halle en el borde (i.e. tenga norma 1) y, por tanto, no esté dentro del mismo objeto. Por ello, el círculo sin borde no es compacto, como ya vimos antes. Sucede que todas las sucesiones de puntos del círculo sin borde tienen su límite, a lo sumo, en el círculo con borde. Esto es porque el círculo entero es la clausura compacta del círculo sin borde. La clausura compacta de un conjunto es el menor conjunto que contiene al primero y a los límites de todas las sucesiones de elementos del primero. La clausura compacta de un conjunto que ya es compacto es, por supuesto, él mismo.

Fijaros en que nada obliga a que todos los objetos tengan clausura compacta. En el caso del espacio tridimensional, las sucesiones de puntos dan lugar a sucesiones asociadas de distancias que pueden crecer arbitrariamente, así que su límite no tiene porque estar en él mismo (puede ser infinito, que no es un elemento de R^3 ni un número para el caso). Si hubieses una clausura compacta esta debería ser, almenos, el propio espacio tridimensional o más. Lo primero no es posible porque ya hemos visto que no es compacto y lo segundo tampoco porque el espacio tridimensional es lo más grande que se puede obtener en tres dimensiones; así que el espacio 3D no tiene clausura compacta. Esta noción me ha permitido distinguir el círculo completo (compacto) del círculo sin borde (no compacto pero con clausura compacta) y del espacio tridimensional (no compacto y sin clausura compacta).

Hay algo, sin embargo, que sigue siendo común a los tres escenarios: si, en cualquiera de ellos, yo tomo dos puntos cualesquera, el segmento que los une tiene longitud finita siempre. Sin embargo, los dos primeros tienen una medida finita: el tener clausura compacta implica que viven dentro de un objeto que es acotado, ergo ellos mismos son acotados; el tercero, en cambio, no lo es y por tanto su medida es infinita. Este hecho me temo que pone en tela de juicio el razonamiento de Radagast: se puede ser infinito y, aún así, ir de un lado a otro recoerriendo distancias finitas en tiempos finitos. Este podría ser perfectamente el caso del Universo; y quiero dejar muy claro que el espacio tridimensional no es el único objeto familiar en el que esto pasa. Hay otro ejemplo que nos viene muy bien para nuestro caso: el paraboloide hiperbólico (PH).

Un paraboloide hiperbólico (pensad en una copa de cava que se extiende y se abre infinitamente) es cerrado pero no acotado, ergo no es compacto. Ello implica, por la noción anterior, que una sucesión de puntos del PH puede tener asociada una sucesión de normas que crece arbitrariamente, pero obsérvese que el PH se puede meter dentro del espacio tridimensional, luego dentro de él, a cualquier par de puntos los separa una distancia finita. ¿Es el Universo un (análogo en 4D de un) paraboloide hiperbólico? Pues resulta que esto depende de la Constante Cosmológica y que la respuesta es sí si la velocidad a la que se expande el Universo es estrictamente mayor que la velocidad de la luz. Así que la noción de infinitud por ritmos de expansión superioes a c es una noción matemáticamente sólida.

[CulitoDeRana]

Se entiende perfectamente tu chapa xd

[Euler]

Diox, qué bien explicado, Jaime. Así da gusto...

[Faraday]

Buena explicación, Jaime. No sé si tú eres mejor, o yo más listo (probablemente ambas), pero tu mensaje me ha servido más que todo Cálculo I durante la carrera (y tengo un 8)

Me has hecho el día.

[Euler]

Buena explicación, Jaime. No sé si tú eres mejor, o yo más listo (probablemente ambas), pero tu mensaje me ha servido más que todo Cálculo I durante la carrera (y tengo un 8)

Me has hecho el día.

Ciertamente ha sido un gustazo leer ese post. Muy muy bueno. Aunque, claro, algunos podemos, en principio, disfrutarlo más que otros. Espero que esto último no suene pretencioso porque no me refiero a entenderlo...

[CulitoDeRana]

Podemos empezar a abusar de Jaime para que nos explique cosas, qué os parece. También sabemos donde vive, por si no nos hace caso.

[Faraday]

Buena explicación, Jaime. No sé si tú eres mejor, o yo más listo (probablemente ambas), pero tu mensaje me ha servido más que todo Cálculo I durante la carrera (y tengo un 8)

Me has hecho el día.

Ciertamente ha sido un gustazo leer ese post. Muy muy bueno. Aunque, claro, algunos podemos, en principio, disfrutarlo más que otros. Espero que esto último no suene pretencioso porque no me refiero a entenderlo...

En ese sentido te entiendo perfectamente. Para mí este tipo de momentos despiertan sentimientos. Y si bien soy un enamorado del conocimiento, sigo pensando que la capacidad de sentir es la mayor virtud del ser humano.

[Faraday]

No me refiería a la curiosidad, y no creo que el conocimiento sirva a esa característica en concreto necesariamente. Yo no busco solo conocer para obtener respuestas (aunque fue el motor que me impulsó en mi adolescencia), sino para elevar el alma o alcanzar una jerarquía superior dentro de los seres humanos a nivel intelectual.

El conocimiento, además de saciar la curiosidad (de hecho, más bien la aumenta), tiene asociado poder, inteligencia, plenitud, miedo, tristeza, melancolía... y mucho, mucho más.

[Jaime]

Yo os puedo explicar mil cosas, pero no siempre tenéis modo de verificar que os estoy diciendo la verdad.

[Euler]

Bueno, el anterior post tuyo era verdad o al menos así lo vi yo en su día.

El de Radagast me ha suscitado dudas desde mi enorme desconocimiento, pues no sabía si hablaba por él, por lo que se sabe o por ciertas teorías.

[Jaime]

Bueno, el anterior post tuyo era verdad o al menos así lo vi yo en su día.

El de Radagast me ha suscitado dudas desde mi enorme desconocimiento, pues no sabía si hablaba por él, por lo que se sabe o por ciertas teorías.

Pues ahora le estaba dando y vueltas y que no sea el espacio proyectivo la clausura compacta de R^n...

El espacio proyectivo es ciertamente compacto, lo que no veo claro es cómo sucesiones de elementos de R^n tienen sus límites en RP^n. De ser así, deberían yacer en el hiperplano del infinto, pero eso es poco menos que decir que puntos del tipo (a1:a2:...:an:1) tienden a uno del tipo (b1:b2:...:bn:0). Creo que tal cosa no es posible (por lo pronto, es como decir que una colección de unos tiende a cero) y que, pese a ser compacto y ser, de hecho, el compactificado de Alexandroff del espacio euclídeo afín, no es de hecho su clausura compacta porque no contiene a sus límites.

Ahora no podré dormir hasta no entender qué falla con las sucesiones.

EDIT: Oh, no es en general el compactificado de Alexandroff de R^n; sólo es cierto para n = 1; aunque sí que es una compactificación.

[Euler]

Bueno, el anterior post tuyo era verdad o al menos así lo vi yo en su día.

El de Radagast me ha suscitado dudas desde mi enorme desconocimiento, pues no sabía si hablaba por él, por lo que se sabe o por ciertas teorías.

Pues ahora le estaba dando y vueltas y que no sea el espacio proyectivo la clausura compacta de R^n...

El espacio proyectivo es ciertamente compacto, lo que no veo claro es cómo sucesiones de elementos de R^n tienen sus límites en RP^n. De ser así, deberían yacer en el hiperplano del infinto, pero eso es poco menos que decir que puntos del tipo (a1:a2:...:an:1) tienden a uno del tipo (b1:b2:...:bn:0). Creo que tal cosa no es posible (por lo pronto, es como decir que una colección de unos tiende a cero) y que, pese a ser compacto y ser, de hecho, el compactificado de Alexandroff del espacio euclídeo afín, no es de hecho su clausura compacta porque no contiene a sus límites.

Ahora no podré dormir hasta no entender qué falla con las sucesiones.

EDIT: Oh, no es en general el compactificado de Alexandroff de R^n; sólo es cierto para n = 1; aunque sí que es una compactificación.

Puff, me pilla un poco oxidado lo que dices. Todo me suena pero no te sigo o no como me gustaría. xDD

Yo siempre digo que estudiar Matemáticas no hace que sepas muchas matemáticas, sino que seas capaz de entenderlas (al menos las cosas “básicas”) si las miras con calma y biografía. Este sería uno de los casos.
Y por supuesto para lo que sirve es para estructurar tu cabeza en general a la hora de enfrentarte a diferentes problemas... xD

[Euler]

Muy chula la música. Ni me había fijado en el título. He tardado un rato en darme cuenta de la peli.

Adoro a Jessica Chastain. Es una de las tías que más atractivas me resultan. Lástima algunas salidas de tiesto que ha tenido...

[Faraday]

Yo siempre digo que estudiar Matemáticas no hace que sepas muchas matemáticas, sino que seas capaz de entenderlas (al menos las cosas “básicas”) si las miras con calma y biografía. Este sería uno de los casos.
Y por supuesto para lo que sirve es para estructurar tu cabeza en general a la hora de enfrentarte a diferentes problemas... xD

Es el superpoder de la física. A mí cuando me preguntan qué hace un físico, siempre contesto: es un experto en aprender cosas. Dame lo que quieras de cualquier disciplina y X tiempo, mi cerebro está configurado para enfrentarme a un problema nuevo desconocido y abordarlo y comprenderlo en la medida de lo posible.

De hecho muchas veces pienso que a veces exijo demasiado a gente que no ha pasado por este proceso, y que estoy siendo injusto (en discusiones sobre X tema).

[An_grybird]

Alguien sabe si tanto los grados como los masters en la Universidad Rey Juan Carlos de Madrid comienzan en septiembre? En otras ciudades los masters comienzan en octubre, pero en esa universidad parece que es a la vez que los grados, lo cual me jode xd Help.

[PrincipeVegetaFinalFlash]

Aquí de Madrid somos dos, mejor pon un correo a la universidad o pégales un telefonazo.

[Manneken Pis]

Mp a cifuentes

[CulitoDeRana]

Esto probablemente interese a fara https://www.meneame.net/story/condiciona...-ver-mundo

[El Rata]

Y a rage que es filólogo y tiene mucho que decir sobre el tema.